S'ha detectat un error en aquesta pàgina. L'estem tornant a editar.
Mentrestant, si us plau, faci servir la versió en PDF si destija consultar el contingut del treball. Moltes gràcies i disculpi les molèsties.
Com ja s’ha indicat anteriorment, la llum és una radiació que es propaga en forma d’ones electromagnètiques. Cal senyalar, però, que quan ens referim a la llum visible -la que els nostres ulls poden captar-, aquesta és sols una petita part de l’espectre electromagnètic: el comprès entre la radiació de longitud d’ona 380x10-9 m i la de 770x10-9 m.
Entenem
per espectre electromagnètic la
distribució energètica del conjunt d’ones electromagnètiques. Aquest, a més de
la llum visible, comprèn des dels raigs γ
i els X, que afecten al cos humà, fins a les ones de radio, que es diu que no
ho fan. Això es deu al fet que l’energia transportada per les ones
electromagnètiques és directament proporcional a la seva freqüència. Aquesta
fórmula, en la qual h és la constant de Planck (6,626x10-34 J·s), és
la base de la teoria quàntica: E=f·h.
.png)
Fig. 9 Espectre electromagnètic. Font:
Wikipedia [traducció i adaptació pròpies]
Com
es pot veure a la figura, els raigs gamma o els ics tenen una freqüència d’ona
més gran que no pas les ones de radio o la llum visible i, per tant,
transporten més energia. Per aquesta raó, ens poden afectar més als éssers
humans.
2.1 Les teories
ondulatòria i corpuscular
La
branca de la física que estudia la llum com a ona s’anomena òptica física i la que l’estudia com
una partícula òptica geomètrica.
Aquesta darrera, es basa en el Principi
de Fermat, que diu que: “el camí entre dos
punts descrit per un raig és aquell que pot ser travessat en el mínim temps
possible”.
D’aquesta
afirmació es dedueixen els següents postulats de l’òptica geomètrica:
- Les trajectòries en medis homogenis i isòtrops són rectilínies.Anomenem homogeni a aquell medi en el qual la llum actua en tots els punts de la mateixa manera: hi viatja de forma constant; i anomenem isòtrop a aquell que presenta el mateix comportament independentment de la direcció en la qual es mesuri: per exemple, és igual de compressible s’apliqui com s’apliqui la compressió. En canvi, en els medis anisòtrops, la direcció de la llum es pot trobar afectada (per exemple, en projectar un raig de llum en un cristall de calcita, n’apareixen dos) i, per tant, no ser rectilínia.
- En una superfície que separa dos medis, el raig incident, el reflectit, el refractat i la normal a la superfície en el punt d’incidència estan en el mateix pla. Més endavant s’explicaran aquests conceptes.
- Les trajectòries de la llum a través de diferents medis són reversibles.
2.1.1 La teoria ondulatòria
Segons
com observem la llum, es manifesta en forma de cos (de corpuscle) o d’ona. Christiaan
Huygens considerava que la llum era una ona electromagnètica que s’autopropagava indefinidament a través
de l’espai. També pensava que consistia en un camp elèctric que variava en el temps generant un
camp magnètic i viceversa.
Això és possible ja que, segons la llei de Faraday, els camps magnètics en generen d’elèctrics i, segons la
llei d’Ampère, els camps elèctrics en generen de magnètics. Tot plegat, és
fàcilment comprovable si s’apropa un cable per on circuli electricitat a una
brúixola (veure l’experiment “Generació d’un camp magnètic a través d’un camp elèctric” al primer annex adjunt al treball). Aquest camp magnètic i aquest camp
elèctric serien perpendiculars entre si i perpendiculars a la direcció de
propagació de l’ona (precisament és per això que es diu que són ones
transversals).
Camp elèctric: Dos objectes carregats
elèctricament s’atreuen per una força, anomenada elèctrica.
Camp magnètic: Dos objectes carregats
elèctricament que es trobin en moviment s’atreuen per una força magnètica. La
força
electromagnètica (que és la que formen l’elèctrica i la magnètica), juntament amb la gravitatòria, la nuclear forta i la nuclear
feble; constitueixen les quatre forces fonamentals de l’Univers (és a
dir, forces que no es poden explicar en funció d’altres, de més senzilles).
|
2.1.1 La teoria ondulatòria
Segons com observem la llum, es manifesta en forma de cos (de corpuscle) o d’ona. Christiaan Huygens considerava que la llum era una ona electromagnètica que s’autopropagava indefinidament a través de l’espai. També pensava que consistia en un camp elèctric que variava en el temps generant un camp magnètic i viceversa.
Això és possible ja que, segons la llei de Faraday, els camps magnètics en generen d’elèctrics i, segons la llei d’Ampère, els camps elèctrics en generen de magnètics. Tot plegat, és fàcilment comprovable si s’apropa un cable per on circuli electricitat a una brúixola . Aquest camp magnètic i aquest camp elèctric serien perpendiculars entre si i perpendiculars a la direcció de propagació de l’ona (precisament és per això que es diu que són ones transversals).
Fig. 11 Ona electromagnètica polaritzada linealment. En blau el camp magnètic i en vermell l’elèctric. Font: Vikipedia.
Si considerem que la llum és una ona, es poden explicar fenòmens com el de les interferències de l’experiment de Young, la difracció o la refracció.
Les lleis de Maxwell
Les lleis de Maxwell són un conjunt de quatre equacions que descriuen les relacions entre electricitat i magnetisme:
Fig. 13 Lleis de Maxwell en forma diferencial. D’esquerra a dreta, les lleis de Gauss, la d’Ampère i la de Faraday. Les magnituds en negreta són vectorials.
Les lleis de Gauss per al camp elèctric i el magnètic
La primera, és coneguda amb el nom de “l’equació de Gauss per a l’electricitat”. Si tenim una esfera de càrrega Q positiva i l’envoltem d’una altra esfera conductora, podrem observar que a les superfícies d’aquesta darrera s’hi indueixen dues càrregues iguals però de signe contrari, tal i com es pot observar a les diverses figures que acompanyen aquestes línies.
Fig. 15 Procés que aconsegueix com a resultat el descrit anteriorment. Els electrons (cercles blaus de tonalitat més fosca) són atrets per la càrrega positiva.
El número de línies de camp elèctric que es genera és directament proporcional a la càrrega Q. En altres paraules, el flux del camp elèctric a través d’una superfície tancada és proporcional a la càrrega tancada dins de la superfície.
En calcular-se el flux, es poden obtenir les fonts del camp elèctric: l’existència de flux, implica l’existència de càrregues. És per aquesta raó que és útil, aquesta equació.
La segona, del mateix autor que la primera, tracta sobre el magnetisme. Diu que el flux de camp magnètic en qualsevol superfície tancada és nul. Això no vol dir que no n’hi hagi, però sí que les línies de camp magnètic no tenen ni inici ni final, sinó que són tancades.
Fig. 17 i 18 Camp magnètic generat per un imant i camp magnètic generat per una bobina, respectivament
En conseqüència, no poden existir monopols: en els dispositius que presenten dos pols, el camp magnètic és dirigit del pol nord cap al sud. Així doncs, el resultant (la suma d’ambdós camps magnètics) és zero. En un hipotètic monopol magnètic això no podria ocórrer ja que no presentaria més que un dels dos pols i, per tant, per tal que el valor del flux del camp magnètic fos zero, necessàriament hauria de ser zero el del pol.
Lleis de Faraday sobre la inducció i d’Ampere
La tercera i la quarta lleis són força més difícils de comprendre. En qualsevol cas, el més destacable d’elles és que, tal i com ja s’ha descrit anteriorment, se’n pot deduir que un camp elèctric en pot generar un de magnètic, que a la vegada en pot generar un altre d’elèctric i així successivament. Per aquesta raó, es diu que les ones electromagnètiques poden existir.
A més a més, Maxwell va calcular –a partir d’aquestes fórmules-, quina seria la seva velocitat de manera teòrica. En obtenir un valor similar al que es deia que es desplaçava la llum, ell va intuir que la llum podria ser una ona electromagnètica. En qualsevol cas, tot i les seva intuïció, no va poder demostrar que així era.
L’experiment de Young
L’experiment de Young va demostrar que existeixen en la llum les mateixes interferències que entre les onades que hi podria haver en l’aigua del mar i que, per tant, la llum havia de ser també una ona. Quan dues ones (posem per exemple, d’aigua) es troben en un mateix punt hi ha una interferència entre elles. Si presenten la mateixa longitud d’ona i amplitud i estan en fase [veure figura 19], ambdues formaran una interferència constructiva: l’ona resultant d’aquesta trobada, serà una ona amb la suma de l’amplitud de les primeres. En canvi, si no es troben en les condicions anteriors, és a dir, si es troben desfasades, ambdues ones es destruiran (amb major o menor grau) entre elles.
L’experiment consistia en fer passar un raig de llum a través d’unes escletxes (de dues, d’aquí el sobrenom “d’experiment de la doble escletxa”). Conseqüència de les lleis citades anteriorment, enlloc del que es podria haver esperat com a resultat de l’experiment si la llum fos sols un corpuscle (un cos), el resultat va ser el mateix que si enlloc de llum, haguéssim fet servir aigua. És a dir, en comptes de trobar projectat sobre la pantalla el raig de llum concentrat, es podia veure un conjunt de màxims i mínims:
El que es podria esperar si fos un corpuscle El que succeeix amb ones (d’aigua) El que es podria esperar si fos un corpuscle El que succeeix amb ones (d’aigua) El que succeeix amb la llum
Fig. 20 Experiment de Young: resultats esperats tenint en compte la teoria corpuscular i l’ondulatòria. Font: Youtube.
L’experiment de Young a més a més, intentava provar el que es recull en el principi de Fresnel - Huyens: tots els punts d’un front d’ona inicial (el darrer punt on l’ona ha arribat) d’una ona qualsevol són punts generadors d’ones esfèriques secundàries que s’estenen en totes les direccions amb la mateixa velocitat, freqüència i longitud d’ona que el front d’ona del que procedeixen.
2.1.2 La teoria corpuscular
Per altra banda, hi ha una segona teoria que diu que es pot estudiar la llum com si es tractés d’una partícula, sense càrrega ni massa anomenada fotó .
Nascuda a partir de la teoria corpuscular de Newton , es basa en el fet que un cos negre -que es creu que absorbeix tota la llum, i per tant tots aquests fotons-, en escalfar-se emet calor i, com que hauria d’absorbir tota la llum, l’hauria d’emetre tota. Les freqüències de l’emissió d’un cos negre en ser escalfat per Max Planck , no es corresponien amb les lleis de la física clàssica -que no tenia en compte la possible existència de fotons-.
Aquest, però, no és l’únic element que demostra que la llum actua com si fos una partícula: l’efecte fotoelèctric explicat per Einstein a partir dels descobriments de Planck o la pressió lluminosa, també la demostren. Aquest darrer fenomen, que és més visual, consisteix en que, en col•locar dos miralls a la punta d’una barra i projectar sobre seu feixos de llum molt potents, els miralls (talment com si haguessin sigut empesos per una partícula) es desplacen lleugerament.
La teoria de Newton citada anteriorment, nascuda a partir de l’observació de fenòmens com la reflexió, tenia un problema clar: considerava que el fotó tenia massa i, si en tenia, això implicava que un objecte emissor de llum (emissor de fotons), progressivament n’aniria perdent, per poca que fos. Això, amb el temps, produiria que l’objecte acabés desapareixent -conseqüència de la progressiva pèrdua de massa-, cosa que a la pràctica no succeeix. Amb la teoria de Planck, que la considerava una partícula sense massa , aquest problema ja no ocorria.
Així doncs, resumint, la unió de les dues teories ens porta a dir que la llum té un comportament dual d’ona-partícula. Val a dir, però, que això avui en dia no es considera quelcom anormal perquè qualsevol partícula elemental (com ho són els fotons) també es pot manifestar en forma d’ona. Així mateix, també ho fan les partícules compostes, com els àtoms bosònics. Un bosó (un àtom d’un element que presenti un nombre de neutrons parell) refredat a una temperatura propera a zero graus Kelvin es converteix en un condensat de Bose-Einstein: com que a aquesta temperatura no es poden desplaçar els electrons, tots plegats s’uneixen formant aquesta macropartícula . Si es fa servir per a reproduir l’experiment de la doble escletxa, s’obté un resultat a la pràctica força similar al que s’aconsegueix amb qualsevol altra substància que presenti ones com les següents:
Fig. 23 D’esquerra a dreta, experiment de la doble escletxa a una cubeta d’ones amb aigua, amb llum, amb un condensat de Bose-Einstein i amb electrons. Tot i que en el condensat és complicat d’observar, en la resta es pot veure que la forma que al final presenten tots té trams amb màxims i trams amb mínims.
2.2 Les propietats de la llum
La velocitat de la llum es caracteritza per la lletra c. Això es deu a que s’agafa com a referència la paraula llatina que vol dir velocitat (celéritās). Els primers intents de calcular-la es van fer a través de miralls o observant l’espai exterior. El darrer càlcul, que la xifra en 299792458 m/s, es considera tan exacte que la definició de metre ha passat a ser 1 m=c•299792458-1 (x=v•t).
La velocitat de la llum, segons la teoria de la relativitat d’Einstein, no pot ser superada per cap altre cos en moviment. En cas que algun ho fes -com darrerament s’havia proposat que ho feien els neutrins-, aquest fet es contradiria amb la teoria de la relativitat i, per tant, quedaria invalidada.
A més a més, no depèn de la velocitat de l’objecte que emet la radiació, tot i que segons si l’emissor viatja més ràpid o més lent, el color, la freqüència o l’energia sí que varien.
Dins de la velocitat de la llum, en distingim dues: una velocitat de fase i una de grup. La de fase ens indica com de ràpid es propaga un punt de l’ona i la de grup ens fa saber com ho fan un conjunt de punts (és a dir, un pols). Tot i que a primera vista pugui semblar que ambdues magnituds haurien de ser iguals, a pràctica no és així. En algunes freqüències potser són molt similars, però en d’altres poden ser completament diferents. En qualsevol cas, sempre es compleix que la velocitat de fase és igual o més gran que la de grup i que vgrup • vfase = c2.
La llum, a més a més, es caracteritza bàsicament perquè:
es propaga en línia recta.
es difracta.
es reflecteix en topar amb una superfície reflectant que separi dos medis.
es refracta quan passa d’una substància a una altra diferent.
pot o no ser polaritzada, lineal o circularment.
La llum es propaga en línia recta. Una demostració clara de que ho fa d’aquesta manera és la formació d’ombres. Una ombra es forma quan es col•loca un objecte davant d’una font de llum i presenta exactament el contorn d’aquest. Com més llunyana sigui la font lluminosa de l’objecte, més nítides seran les ombres que aquesta produirà.
Fig. 25 Eclipsi solar L’exemple més conegut i vistós de que la llum es propaga en línia recta són els eclipsis totals de Sol. La llum del Sol es propaga en línia recta fins a arribar a la Lluna, que, la “tapa” evitant que des de certs punts de la Terra es pugui veure el Sol. Si no el tapés completament, s’anomenaria “eclipsi parcial” de Sol.
A més, com qualsevol altre tipus d’ona, la llum es difracta. La difracció consisteix en el fet que qualsevol tipus d’ona que estigui circulant en línia recta deixarà de fer-ho en trobar-se amb una escletxa o un obstacle. Ho farà per voltar-lo (en el cas de l’obstacle) o per a obrir-se (en el cas de l’escletxa). En travessar una obertura circular, si es col•loca una pantalla allunyada de l’obertura, es pot observar que la llum es difracta produint un patró d’interferència de regions il•luminades i fosques coneguda com a disc d’Airy. El diàmetre del disc central, que es troba envoltat per un conjunt d’anells concèntrics, està relacionat amb la longitud d’ona de la llum i amb la mida de l’obertura circular. El punt més petit que un raig de llum pot enfocar fent ús d’una lent és de la mida del disc d’Airy corresponent i es coneix com a límit de difracció.
A més a més, la llum es reflecteix en topar amb una superfície reflectant que separa dos medis. Entenem per reflexió de la llum el canvi de direcció que experimenta un raig lluminós al xocar contra la superfície dels objectes. La llum reflectida es segueix propagant pel mateix medi que es propagava abans la incident i l’angle d’incidència és igual a l’angle de reflexió.
Fig. 27 D’esquerra a dreta, reflexió especular i difusa.
Si podem veure els objectes és precisament perquè ens arriba als ulls la llum que s’hi reflecteix. Segons com sigui la superfície d’aquests objectes, distingim dos tipus de reflexió: si la superfície és totalment llisa (és brillant o polida), s’anomena reflexió especular; si és rugosa, reflexió difusa. A diferència de si és llisa, si la superfície és rugosa, els raigs de llum són reflectits en més d’una direcció. És precisament gràcies a això que podem veure que ho és.
Seguint amb el llistat de propietats, la llum es refracta quan passa d’un medi a un altre. Entenem per refracció de la llum el canvi de direcció que experimenten els raigs lluminosos al passar d’un medi a un altre en el qual la llum es propaga a una velocitat diferent. El més conegut és la refracció que pateix la llum quan canvia del medi “aire” al medi “aigua”, però n’hi ha un munt més: en el moment que la llum arriba a la Terra, passant del medi “el buit” (si es pot considerar medi) al medi “aire”, ja pateix una refracció, tot i que com que la velocitat a la que es desplaça la llum en els dos medis és força similar, l’angle incident és quasi idèntic al refractat.
sinα/sinα'=v/v'=n/n'
Fig. 28 Llei d’Snel Fig. 29 Refracció
El raig refractat s’apropa a la normal quan passa d’un medi en el qual es propaga a més velocitat, a un altre en el que es propaga a menys. Per contra, se n’allunya quan és a l’inrevés. Anomenem “índex de refracció” al valor obtingut de calcular n=c/v. Cada medi té un índex de refracció característic però dos medis poden tenir el mateix índex de refracció. En el darrer dels exemples que es citaven, v ≈ v’ i, per tant, es deia que quasi no variava l’angle del raig incident respecte del del refractat. En canvi, sí que canvia molt en el primer: el ganivet de la fotografia, tot i no estar-ho, sembla trencat. Això es deu al fet que la llum es desplaça a una velocitat més elevada en l’aire que no pas en l’aigua i el raig de llum es corba en canviar de medi.
Quan l’angle que el raig incident forma amb la superfície és més petit d’un cert valor, tota la llum es reflecteix. Aquest fenomen es coneix com a reflexió total i és el responsable d’algunes il•lusions òptiques com la següent, en la qual la moneda sembla desaparèixer segons l’angle des del qual es mira el got:
Planta
Fig. 30 En l’experiment, la moneda sembla desaparèixer en afegir aigua en el got a causa del fenomen de la reflexió total. Se’n pot trobar l’informe i l’explicació sencera al primer Annex.
Els miratges
Els miratges són fenòmens òptics naturals en els quals els raigs de llum “es corben”, tot produint imatges desplaçades d’objectes o del cel. Això es deu a que l’atmosfera està dividia en capes a diverses temperatures i els raigs de llum, en creuar-les, es desvien. Com que l’aire fred és més dens que no el calent, té un índex de refracció superior. Segons si l’aire proper al terra és més fred que no el de capes superiors o si és a l’inrevés distingim miratges superiors (els primers) i inferiors (els darrers).
Fig. 31 Exemple de miratge inferior. A l’esquerra, esquema del que realment es veu: hom en aquesta situació veuria el cel situat on hi hauria el terra. Com que no té cap sentit un núvol projectat sobre la sorra o en una carretera (com a la dreta), el nostre cervell l’interpreta com un bassal d’aigua. En la figura de l’esquerra, la temperatura de l’aire es simbolitza amb el canvi de color.
Com a curiositat, habitualment, com més lluny ens trobem del terra, la temperatura disminueix a raó de ΔT=-1 K cada cent metres. Per a què es puguin començar a veure miratges, ΔT=-2 K cada metre i per a què sigui fàcilment visible ΔT≤-4 K per metre.
A més a més, si són emprats amb astúcia, tal i com es veurà més endavant, els miratges també poden servir per tal d’aconseguir que deixi de ser visible un objecte .
Un altre fenomen similar al dels miratges és conegut amb el nom de heat haze (o boirina de calor). En encendre el fogó, l’aire s’escalfa, però no ho fa pas tot a tot arreu igual (hi ha petites diferències de temperatura entre un punt i un altre de l’aire escalfat) i, per tant, la llum en travessar-lo sembla no anar en línia recta. El que és més, com que al tenir diferents temperatures és com si constantment canviés de medi, sembla que no viatgi en línia recta. És per aquesta raó, que ens és impossible llegir les pàgines del llibre rere el fogó encès però en canvi sí que ho podríem fer si aquest estigués apagat.
Tornant al les propietats de la llum, la transmissió consisteix en una doble refracció: es diu que existeix quan el raig incident travessa la substància i en torna a sortir com, per exemple, passa en els vidres. Pot ser de dos tipus: regular, si després de tot el procés el raig transmès presenta el mateix angle α que presentava en un inici el raig incident (com passa amb els vidres transparents); o difusa, en cas que els raigs transmesos presentin tots direccions diferents. Si una d’aquestes direccions predomina, s’anomenarà transmissió mixta.
Tant en la refracció com en la reflexió, el raig incident, el refractat o reflectit (segons el cas) i la normal, es troben sempre en el mateix pla.
Tot material absorbeix llum d’algun grau degut a la interacció electrònica dels àtoms, ions i molècules que el constitueixen. La fracció de llum transmesa per un material depèn de la quantitat de llum absorbida i reflectida pel mateix. En qualsevol cas, es compleix que: (fracció reflectida) + (fracció absorbida) + (fracció transmesa) = 1.
En el cas del metalls, la fracció reflectida i l’absorbida de la radiació incident són més elevades des de longituds d’ona altes fins a la meitat del rang ultraviolat (amb excepció dels metalls de seccions molt petites). Això es deu a la seva estructura electrònica: en els metalls, la banda de conducció es superposa a la de valència i, per tant, la radiació incident eleva fàcilment el nivell en el qual es troben els electrons.
En canvi, en els semiconductors, els fotons poden ser absorbits de diverses formes. En els intrínsecs –és a dir, en els purs (ex: Si)-, es poden crear parelles electró-forat, tot obligant així a que els electrons saltin entre bandes d’energia des de la de valència a la de conducció. En canvi, en els que presenten impureses, els electrons sols han de saltar des de la banda de valència fins a l’anomenat “nivell acceptor” o del “nivell donant” a la banda de conducció.
Finalment, cal destacar que la llum pot o no ser polaritzada i que, si ho és, aquesta polarització pot ser lineal, circular o el•líptica. Si les vibracions del camp magnètic i l’elèctric són sempre en el mateix pla (pla de polarització) es diu que l’ona està polaritzada linealment. En canvi, si ho fa descrivint cercles, s’anomena polarització circular.
La llum que no és polaritzada (que presenta vibracions en tots els angles), no pot travessar completament un medi polaritzador, que només permet el pas de les ones que presenten una vibració en un angle determinat. En conseqüència, tal i com es veu en la figura 35, sols una part (o tota, si presenta tota aquell angle) podrà passar-hi a través. En trobar-se un segon polaritzador col•locat de forma oposada a l’anterior, d’aquest no en surt cap ona electromagnètica.
2.3 Efectes de la llum
La llum també es troba sotmesa a un gran nombre d’efectes. D’entre ells, caldria destacar-ne l’efecte Doopler. Consisteix en la variació de la freqüència d’una ona emesa per un objecte en moviment. Ambulàncies amb un pacient a dins o trens en moviment fent sonar el xiulet, en són clars exemples.
Fig. 36 Efecte Doppler. En un tren aturat, ambdós oients escolten la mateixa freqüència d’ona. En canvi, si el tren està en moviment, l’oient cap al qual es dirigeix escoltarà una ona més aguda que no pas l’oient del qual se n’allunya.
Tot i que tant el xiulet com el so de l’ambulància, sempre emeten en la mateixa freqüència, mentre aquest s’acosta sembla ser més agut que no pas quan s’allunya.
Amb la llum ocorre exactament el mateix: en apropar-se un objecte, la llum que reflecteix presenta longituds d’ona més curtes que no pas quan s’allunya. Així doncs, i prenent com a base l’espectre electromagnètic, en apropar-se un objecte presenta colors més propers al blau i, en allunyar-se, més propers al vermell.
f^'=f (v^'+v_0)/(v^'+v_f ), quan el focus s’allunya f^'=f (v^'-v_0)/(v^'-v_f ), si el focus s’apropa
on f’ és la freqüència que percep l’observador, f és la freqüència amb la que s’emet, v0 és la velocitat de l’observador, v és la velocitat (per exemple, en el cas de la llum, 3x108 m•s-1 o en el cas del so,
340 m•s-1) i vf és la velocitat del focus
Tant les ones com la llum són un món fascinant, molt més extens i també força més dens que no pas els conceptes que s’expliquen en aquesta part. Això es deu a que la intenció no és només que hagi servit per introduir el tema, sinó que (com ja s’ha dit) també sigui útil per a entendre els conceptes que apareixen en el darrer dels apartats, que, al cap i a la fi, és la raó d’aquest treball.
